Коэффициенты многочлена
Многочлен P(x) = (2×2 — x — 1)8 преобразовали в стандартный вид:
P(x) = a0x16 + a1x15 + ⋯ + a16.
Найдите сумму a0 + a1 + … + a16 всех коэффициентов многочлена.
Найдите сумму всех коэффициентов многочлена с чётными номерами, то есть a0 + a2 + … + a16.
Ответ: 0, 128
Разбиение треугольника
На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки A’, B’ и C’ так, что отрезки AA’, BB’ и CC’ пересекаются в точке M. Оказалось, что площади треугольников AMB’ и AMC’ равны 5, а площадь треугольника BMC’ равна 10.
Найдите площадь треугольника МСВ’.
Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ: 10 , 60
Колебания
Пусть f(x) = sin(x + π/4) · sin(x + 3π/4) · sin(x + 5π/4) · sin(x + 7π/4).
Найдите наибольшее значение функции f(x).
Найдите наибольшее значение функции g(x; y) = f(x) − f(y).
Ответ: 0,25 , 0,25
Очень дружный класс
В одном очень дружном классе, состоящем из 24 человек, принято, чтобы перед первым уроком и каждый ученик, и каждая ученица поприветствовали рукопожатием всех своих одноклассников. В какой-то день в школу пришли не все, а суммарное число рукопожатий между ребятами одного пола оказалось таким же, как число рукопожатий между мальчиками и девочками.
Сколько детей дружного класса в этот день не пришли в школу? Запишите наименьший из возможных ответов на этот вопрос.
Пусть в школу пришло наибольшее возможное удовлетворяющее условию задачи число ребят из этого класса. Сколько среди них было девочек? Если ответов несколько, то напишите их все в порядке возрастания без пробелов.
🔒
Полные ответы и решения скрыты
Полные ответы на олимпиаду по Математике только в нашем Telegram-канале.
➤
Смотреть ответы в Telegram
Внутри правильного шестиугольника ABCDEF выбраны такие точки M и N, что углы ∠AMB и ∠DNC — прямые. Наименьшее возможное значение длины отрезка MN равно 4. Найдите периметр исходного шестиугольника.
Смотреть ответы на все задания и все варианты
Последовательность
Последовательность {an} задана условиями a1 = 1/4, an + 1 = an / (1 + 3an), где n = 1,2,3,… . Известно, что a2026 = 1/N, где N — некоторое натуральное число.
Чему равно N?
Начиная с какого номера n выполняется неравенство an < 1/1000? Укажите наименьшее такое n.
Смотреть ответы на все задания и все варианты
Одинаковые цифры
Натуральное число A кратно 99, а его десятичная запись состоит только из восьмёрок. Натуральное число B кратно 99, а его десятичная запись состоит из цифр, среди которых ровно одна цифра – не восьмёрка, а все остальные – восьмёрки.
Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа A? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сколько цифр может быть в десятичной записи такого числа B? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Запишите наименьшее из возможных значений B. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Смотреть ответы на все задания и все варианты
Рожки
Пятеро ребят встали в круг. Каждый решил «поставить рожки» ровно одному из своих соседей случайным образом.
Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наибольший из возможных ответов. В качестве ответа вводите натуральное число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Сколько ребят могло оказаться без рожек над головой? Запишите наименьший из возможных ответов. В качестве ответа вводите целое число. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3
Найдите вероятность события «Количество ребят без рожек над головой – наименьшее из возможных». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Найдите математическое ожидание случайной величины «количество ребят без рожек над головой». В качестве ответа вводите целое число или конечную десятичную дробь. В качестве разделителя целой и дробной частей используйте точку либо запятую. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (в частности, пробелов), быть не должно. Пример: 3,14
Смотреть ответы на все задания и все варианты